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loveboss 发表于 2011-5-11 22:37

数学欧拉拓朴公式

欧拉公式：对于任意[url=http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93&ch=w.search.yjjlink][color=#005599]多面体[/color][/url]（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假 设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那么
F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

证明 （图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：



（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个[url=http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%9B%BE%E5%BD%A2&ch=w.search.yjjlink][color=#005599]平面图形[/color][/url]的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
只有5种(欧拉公式证明)
设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即
Nf=2E -------------- 1式
同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式，得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2，
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是[url=http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0&ch=w.search.yjjlink][color=#005599]正整数[/color][/url]，所以1/E>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5

所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种

lhc1010 发表于 2011-5-11 23:07

[han][han][han]

lhc1010 发表于 2011-5-11 23:22

高中时候学过，现在忘得差不多了[yun]

a107758165 发表于 2011-5-11 23:33

null

我都不知道说的是什么

zhangxiaoyan520 发表于 2011-5-12 02:11

有点晕。。

z1059267464 发表于 2011-5-12 02:44

[yun][yun][yun]

skysky1 发表于 2011-5-12 08:47

不得不顶啊，看不懂的都要顶

Lucky_666 发表于 2011-5-12 09:13

迷茫中.....[yun][yun][yun]

weihan840110 发表于 2011-5-12 10:08

[yun][yun][yun]

yvhftpgk 发表于 2011-5-12 19:14

看不明白了

loveboss 发表于 2011-5-13 15:39

很简单的真的一学就会[tingyinyue]

a107758165 发表于 2011-5-13 19:53

[lei][lei]自己恩不会呀，看了好久

loveboss 发表于 2011-5-13 21:27

用哪个算距离是最简单的，两者的距离如果是菱边多边型的话那就是（F+V+E）X2F=1证明拓朴成功 =2或以上就证明拓朴失败。[xiao]

yan7013 发表于 2011-5-13 21:36

送楼主一个大大的太阳！[bishini]

lhc1010 发表于 2011-5-13 22:08

[ding][ding][ding]

shabidetian 发表于 2011-5-13 22:13

。。。。。。。。。。。。。。！！！！！！！！！！！！！数学我曾经最低考过20分

zimc741 发表于 2011-5-13 22:33

[yun]看不懂。。我们都是文盲，没读过书。。楼主书读的多，不用出来晒。。。

loveboss 发表于 2011-5-16 17:53

我数学最低分是89分[pa]

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